切比雪夫不等式证明 证明书

切比雪夫不等式证明
一、
试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此
1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.
解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且
~XB(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250)
2
答题完毕，祝你开心!
1
1(
2
1
1000)1(= ××= =pnpDX,
而所求的概率为
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
.
二、
切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16
……
与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0，
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
概率论说法
设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，
改进
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：
这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。
当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：
[1]
证明
定义，设为集的指标函数，有
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有Pr(|Y| le opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明。